Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Определение 15.3 Система (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.

Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1,\\ 2x_1+2x_2=2,\\ 3x_1+3x_2=3\end{array}\right.$

(15.4)

имеет решение ${x_1=2}$ , ${x_2=-1}$ и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+2x_2+2x_3=1\end{array}\right.$

(15.5)

решений не имеет, то есть является несовместной.

Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений (15.1) дает приведенная ниже теорема.

Определение 15.4 Расширенной матрицей системы линейных уравнений (15.1) называется матрица

, отличающаяся от матрицы

системы наличием дополнительного столбца из свободных членов:

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&b_1\\ ... ...{2n}&b_2\\ \hdotsfor{5}\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&b_m\end{array}\right).$

Предложение 15.1 Ранг расширенной матрицы либо равен рангу матрицы системы , либо больше его на единицу.

Доказательство. Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы

является линейно независимой системой столбцов матрицы

, то в силу предложения 14.26 ${{\rm Rg}A\leqslant {\rm Rg}A^*}$ .

Пусть ${{\rm Rg}A=r}$ . Предположим, что ${{\rm Rg}A^*=r+k}$ , . Тогда в матрице есть линейно независимая система из столбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице . Тогда подсистема остальных столбцов, принадлежащих матрице , должна быть линейно независимой. Следовательно, ${{\rm Rg}A\geqslant r+k-1}$ . Получили противоречие. Предположение, что , неверно.

Теорема 15.2 (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы .

Доказательство. Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ .

Пусть набор чисел ${({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n)}$ является решением системы. Обозначим через -ый столбец матрицы , ${i=1,2,\dots,n}$ . Тогда ${{\alpha}_1a_1+ {\alpha}_2a_2+\ldots+{\alpha}_na_n=b}$ , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы . Пусть ${r={\rm Rg}A}$ . Предположим, что ${{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ . Тогда по предложению 15.1 ${{\rm Rg}A^*=r+1}$ . Выберем в базисный минор . Он имеет порядок . Столбец свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы . Столбец свободных членов в миноре является линейной комбинацией столбцов матрицы . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) ${M={\alpha}_1M_1+{\alpha}_2M_2+\ldots+{\alpha}_nM_n}$ , где -- определитель, который получается из минора заменой столбца свободных членов на столбец . Если столбец проходил через минор , то в , будет два одинаковых столбца и, следовательно, ${M_i=0}$ . Если столбец не проходил через минор , то будет отличаться от минора порядка матрицы только порядком столбцов. Так как ${{\rm Rg}A=r}$ , то ${M_i=0}$ . Таким образом, ${M={\alpha}_1\cdot 0+{\alpha}_2\cdot 0+\ldots +{\alpha}_n\cdot 0=0}$ , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что ${{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ , неверно.

2. Пусть ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ . Покажем, что система имеет решение. Так как ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ , то базисный минор матрицы является базисным минором матрицы . Пусть через минор проходят столбцы ${a_{i_1},\,a_{i_2}, \dots,\,a_{i_r}}$ . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

$\displaystyle b={\alpha}_1a_{i_1}+{\alpha}_2a_{i_2}+\ldots+{\alpha}_ra_{i_r}.$

(15.6)

Положим ${x_{i_1}={\alpha}_1}$ , ${x_{i_2}={\alpha}_2}$ , $\dots$ , ${x_{i_r}={\alpha}_r}$ , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях ${x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ получим

$\displaystyle x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n={\alpha}_1x_{i_1}+{\alpha}_2x_{i_2}+\ldots+{\alpha}_r x_{i_r}.$

В силу равенства (15.6) ${x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b}$ . Последнее равенство означает, что набор чисел ${x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ является решением системы. Существование решения доказано.

В рассмотренной выше системе (15.4) ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=1}$ , и система является совместной. В системе (15.5) ${{\rm Rg}A=1}$ , ${{\rm Rg}A^*=2}$ , и система является несовместной.

Замечание 15.3 Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить ${\rm Rg}A$ и ${\rm Rg}A^*$ , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.